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    La relación de onda de De Broglie es la base para pronosticar la conducta de las partículas que se mueven libremente. Poco después de ser propuesta, Erwin Schrödinger demostró que podía generalizarse la expresión de De Broglie de tal manera que fuera aplicable a las partículas ligadas, tales como los electrones de los átomos. La esencia de la teoría de Schrodinger es que podían: encontrarse las energías permitidas de los sistemas físicos resolviendo una ecuación que se parece tanto a las ecuaciones de la teoría clásica ondulatoria que es llamada ecuación de onda. Para el movimiento de una partícula en una dirección (la x), la ecuación de onda de Schrodinger es

    Los términos «conocidos» de esta ecuación son m, la masa de la partícula, y V su energía potencial expresada en función de x. Las «incógnitas» que se deben encontrar por la resolución de la ecuación son E, las energías cuantizadas o permitidas de la partícula, y Y, que se llama función de onda. Cuando se aplica esta ecuación a los sistemas reales, tales como el átomo de hidrógeno, se encuentra que ella no puede ser resuelta a menos que E asuma ciertos valores que están relacionados por números enteros. De este modo, la energía cuantizada y los números cuánticos son una consecuencia automática de la teoría de Schrödinger, y no tienen que ser añadidos a la mecánica newtoniana como lo hacía Bohr. 

    ¿Qué es Y? En sí misma, no tiene significado físico. Sin embargo, el cuadrado del valor absoluto de Y, |Y2|,  sí tiene una importante interpretación física. Es la expresión matemática de cómo la probabilidad de hallar una partícula varía de un lugar a otro. Así, las trayectorias exactas de la mecánica newtoniana y de la teoría de Bohr no aparecen en los resultados de la mecánica cuántica de Schrodinger; esto es como debe ser, de acuerdo con el principio de incertidumbre.

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